Le difficoltà in matematica rappresentano un tema complesso e sfaccettato. Per affrontarlo in modo efficace, è fondamentale riconoscere le profonde differenze tra studenti, considerando sia fattori cognitivi, sia non cognitivi (come quelli affettivi e sociali). Infatti, non esiste un profilo unico di studente in difficoltà (o “con bisogni educativi speciali”) e bisogna tener conto della multidimensionalità di ogni profilo (Baccaglini-Frank e Di Martino, 2021). A maggior ragione, all’interno di una stessa classe, le esigenze e le sfide nell’insegnamento e apprendimento della matematica possono variare enormemente. Tuttavia, spesso queste differenze e le esigenze particolari dei singoli studenti vengono appiattite e si cerca di rispondere con strategie di ripiego, poco adattabili, e che quasi sempre enfatizzano aspetti procedurali della Matematica oggetto dell’insegnamento.
Dalla nostra revisione della letteratura degli ultimi dieci anni in Educazione Matematica emerge che molti interventi di recupero si basano su un insegnamento esplicito di procedure, seguito da esercitazioni strutturate, talvolta supportate da strumenti come schemi, formulari o tecniche mnemoniche (acronimi, filastrocche). Questo approccio presenta diversi limiti. Da un lato, può risultare inefficace se non intercetta le vere difficoltà degli studenti, che spesso coinvolgono aspetti affettivi o metacognitivi. Dall’altro, rischia di rafforzare un’idea distorta della matematica e di come la si apprende, portando gli studenti a credere che il successo dipenda esclusivamente dalla memorizzazione di formule e procedure, senza una reale comprensione dei significati coinvolti. In questo modo, si consolida la percezione della matematica come un sapere trasmissivo: “L’insegnante mi spiega cosa fare e io lo ripeto”.
La ricerca suggerisce invece che gli interventi più efficaci e adattabili a profili diversi sono quelli che ribaltano questa prospettiva. Mettere al centro l’esplorazione, la costruzione attiva del sapere e la negoziazione dei significati, guidando studentesse e studenti verso una comprensione più profonda e autonoma, è una strategia chiave per favorire un apprendimento più solido e duraturo (Bartolini Bussi e Mariotti, 2009; Davis et al., 2013; Jonsson et al., 2014). Insomma, pensiamo che, quando si parla di difficoltà in matematica, sia essenziale evitare soluzioni standardizzate e visioni riduttive. Ogni studente porta con sé un percorso unico, con punti di forza, fragilità e modalità di apprendimento diverse. Ridurre queste complessità a semplici etichette significa non solo perdere la ricchezza delle diversità, ma anche rischiare di adottare strategie didattiche inefficaci.
In questo articolo presentiamo due esempi di attività con artefatti digitali sviluppati all’interno di DynaMat (si veda la bibliografia e sitografia), un progetto di ricerca finanziato dal MIUR (2022-2025), la cui fase sperimentale si è svolta al CARME1, volto a investigare i processi di apprendimento di studenti con difficoltà in matematica attraverso l’uso di strumenti digitali. Gli esempi che discuteremo riguardano i primi anni della scuola secondaria di secondo grado; le sperimentazioni sono state condotte presso i locali del CARME e in alcune scuole dell’Italia centrale, ma i risultati ottenuti e ciò che sosteniamo sull’inclusione hanno valore generale. In particolare, gli esempi riguardano due contesti didattici differenti, entrambi centrali per la pratica in aula:
- recupero: un’attività mirata a rafforzare concetti già incontrati in classe, ma in generale appresi in modo quasi esclusivamente procedurale. L’intervento, se ritenuto idoneo e adattabile al profilo delle studentesse e degli studenti in questione, quindi mira a ricostruire e ristrutturare conoscenze già acquisite in modo frammentario o poco solido. Nel caso specifico ci concentreremo sul significato di equazione (lineare), di incognita e di soluzione di un’equazione;
- introduzione ex novo: un’attività pensata per guidare le studentesse e gli studenti verso la comprensione di un nuovo Sapere. Con l’intervento, quindi, si cerca di promuovere una conoscenza solida e consapevole, basata su significati e non solo su procedure, e questo ha tra l’altro la conseguenza di prevenire le difficoltà più comuni note in letteratura legate alla comprensione di particolari concetti matematici. Nel caso specifico, illustreremo attività sul significato di funzione, di variabile e di covariazione, aspetti che la ricerca in Educazione Matematica ci dice essere spesso ostici, ma critici per l’apprendimento matematico.
Affrontare il recupero: il caso di bilance mobili, incognite ed equazioni
Sono ben note le difficoltà di tante/i studenti nel passaggio da aritmetica ad algebra, difficoltà che coinvolgono molteplici aspetti, dall’aver a che fare con lettere per indicare numeri generici, al trattamento di questo nuovo simbolismo. Qui ci concentriamo sul caso specifico delle equazioni di primo grado.
Molto spesso l’esperienza delle studentesse e degli studenti con le equazioni si traduce nel memorizzare una procedura risolutiva, spesso basata su “metto tutte le x da una parte, i numeri dall’altra, ricordandomi che quando porto di là dall’uguaglianza devo cambiare di segno e poi divido fino a che non arrivo a qualcosa della forma x=numero”. Se da un lato questa procedura “funziona”, nel senso che permette di determinare il valore dell’incognita per cui l’equazione è verificata, molto spesso però viene applicata ciecamente dagli studenti, senza essere affiancata da una conoscenza dei significati coinvolti. Inoltre, per vari studenti, la memorizzazione di procedure principalmente per via verbale orale e scritta è problematica (si pensi, ad esempio, a forme di dislessia) e può portare a errori nell’esecuzione della procedura, di cui non si accorgono perché non ne controllano il senso. Molto spesso a domande come “Cosa è un’equazione?”, “Cosa significa soluzione di un’equazione?”, “Perché la procedura che stai applicando funziona?” le studentesse e gli studenti rispondono con difficoltà, o quando lo fanno ci dicono che per loro un’equazione è lo svolgimento di un esercizio (“ho fatto un’equazione”), che la soluzione è “la fine dell’esercizio” e che la procedura funziona “perché si fa così”.
Nell’ambito di DynaMat abbiamo progettato alcune attività, che l’insegnante può adattare al singolo/a studente, con l’obiettivo di intervenire su questi aspetti, specificatamente sulla costruzione dei significati di incognita, equazione, soluzione di un’equazione, da parte di studenti che già avessero incontrato le equazioni ma con le problematicità sopra descritte, che nel progetto venivano diagnosticate con un’intervista preliminare. Introduciamo qui alcune delle attività, inseribili in un percorso personalizzato per la studentessa o lo studente in questione, che sono costruite a partire da alcune bilance digitali create sul software Desmos. Alla base della progettazione c’è la metafora, spesso usata nell’insegnamento, che mette in relazione alcuni significati legati alle equazioni con significati legati alle bilance a due piatti e al loro funzionamento. Gli artefatti digitali che usiamo nelle attività si presentano come bilance a due piatti su cui sono disposti degli oggetti colorati corrispondenti a dei pesi (Figura 1). In alcuni oggetti è riportato un numero che corrisponde al valore del peso, ma alcuni sono senza numero e quindi non è noto tale valore. Le bilance sono interattive e dinamiche, nel senso che l’utente, trascinando i vari oggetti presenti, può metterli o toglierli dai piatti della bilancia, la quale si dispone in equilibrio o pendendo da uno dei due lati a seconda della relazione tra il peso risultante su ogni piatto. Le e gli studenti (con diverse storie di difficoltà e fallimento in matematica) con cui abbiamo lavorato hanno immediatamente iniziato a interagire in modo sensato con questi artefatti digitali.
Le attività con questo artefatto digitale sono molteplici e diverse tra loro. Per una panoramica più dettagliata si può consultare il nostro sito (si veda la bibliografia e sitografia); qui ci concentriamo sul presentare brevemente gli aspetti generali di queste attività. Dapprima viene richiesto alle studentesse e agli studenti di esplorare l’artefatto determinando quali azioni è possibile compiere e cosa succede in risposta a tali azioni. Seguono poi attività in cui viene esplicitamente chiesto di aggiungere o levare pesi (liberamente o in quantità assegnata), in maniera tale che la bilancia rimanga in equilibrio. Successivamente seguono attività in cui l’obiettivo è determinare il valore di ciascun peso incognito. In tutte queste situazioni viene richiesto di verbalizzare, oralmente e in forma scritta, i processi messi in atto descrivendo e giustificando le proprie azioni e il comportamento della bilancia in risposta a esse. L’obiettivo generale di queste attività è quello che le studentesse e gli studenti costruiscano narrazioni sulle bilance esplorate, su elementi che le caratterizzano (presenza di pesi noti e non noti; situazione di equilibrio o disequilibrio) e sui principi che ne governano il comportamento, come ad esempio il fatto che aggiungendo o levando lo stesso peso risultante da entrambi i piatti, la bilancia rimane in equilibrio. A questo punto, con gradualità, è possibile promuovere una traduzione in termini di equazioni e loro scrittura simbolica di alcune di queste narrazioni (prevalentemente verbali) prodotte dagli studenti. Questa traduzione inizialmente può coinvolgere l’utilizzo della scrittura di un’equazione per rappresentare una bilancia in equilibrio, per poi coinvolgere anche le procedure messe in atto per determinare il peso incognito e i principi che governano la bilancia. Ciò permette di mettere in luce un collegamento tra le attività svolte precedentemente con significati matematici legati alle equazioni:
- la situazione di equilibrio di una bilancia corrisponde alla relazione di uguaglianza tra due valori, con il simbolo ‘=‘ che diventa un modo per rappresentare tale relazione;
- l’oggetto dal peso non noto è in relazione con il significato di incognita e il suo valore con quello di soluzione di un’equazione;
- infine, la procedura per determinare il valore del peso non noto che consiste nel rimuovere pesi equivalenti da entrambi i piatti trova un parallelismo con la procedura di risoluzione di un’equazione che si basa sull’applicazione dei principi di equivalenza.
L’obiettivo didattico di lavorare esplicitamente su questo parallelismo, dunque, diventa quello di fare in modo che le studentesse e gli studenti possano associare significati a quelle che prima erano solamente stringhe di simboli, spesso maneggiate attraverso procedure senza controllo semantico. Nel lavorare con loro su questa relazione tra bilance ed equazioni, diventa inoltre didatticamente rilevante discutere anche sui limiti di quest’ultima, chiedendosi se ci sono aspetti legati alle equazioni che non trovano un parallelismo nelle bilance e viceversa. Per esempio, la possibilità con le equazioni lineari di trattare valori negativi o di avere coefficienti non interi, oppure la strategia con le bilance di identificare il peso non noto posizionandolo su un piatto e cercando pesi noti da mettere nell’altro piatto in modo da equilibrare la bilancia.
Per motivi di spazio non abbiamo potuto qui presentare esempi di studenti “all’opera” con le nostre attività e come queste abbiano permesso di intervenire su alcune loro difficoltà. A tale proposito però, segnaliamo un articolo in italiano scritto da due ricercatrici del nostro gruppo di ricerca (Bonadiman e Macchioni, 2024) che si focalizza proprio su questo tema, descrivendo in modo fine come possa avvenire il superamento di difficoltà dovute a un apprendimento “andato male” grazie alla comprensione profonda dei “perché” legati ai significati matematici degli oggetti in gioco (si veda anche Baccaglini-Frank et al., 2024).
Introdurre nuovo Sapere: il caso di variabili, funzioni e grafici dinamici
Il concetto di funzione riveste un ruolo fondamentale sia nella matematica trattata nella scuola secondaria sia a livello universitario, ed è centrale anche in molte situazioni quotidiane. Tuttavia, numerosi studi nel campo dell’Educazione Matematica hanno evidenziato che una delle principali problematiche legate all’apprendimento profondo di questo concetto riguarda l’interpretazione della relazione di dipendenza, come un rapporto dinamico tra grandezze che variano simultaneamente. In particolare, la tendenza da parte degli studenti a considerare funzioni e grafici come oggetti statici, piuttosto che come processi dinamici, può ostacolare l’apprendimento.
Il recente sviluppo di tecnologie e software didattici innovativi ha favorito nuovi approcci all’insegnamento e all’apprendimento delle funzioni, basati per esempio sull’uso di rappresentazioni multiple. All’interno del progetto DynaMat, abbiamo progettato e realizzato una rappresentazione per le funzioni reali di una variabile reale in un ambiente di algebra e geometria dinamica, e il nostro studio esplora i processi cognitivi coinvolti nel lavoro con questa rappresentazione che chiamiamo grafico dinamico (Baccaglini-Frank et al., 2024). L’idea alla base dei grafici dinamici è fornire alle studentesse e agli studenti una rappresentazione che possa supportare una concezione dinamica dei significati di variabile e di funzione, evidenziando le variazioni e i movimenti delle due variabili in gioco (rispettivamente, dipendente e indipendente) e il loro rapporto asimmetrico di dipendenza.
Abbiamo sviluppato questa idea progettando un applet nel software GeoGebra, progettando una sequenza di attività volte ad arricchire il significato della rappresentazione cartesiana delle funzioni. Un grafico dinamico (Figura 2) prevede una retta orizzontale con due tacche mobili: una rappresenta la variabile indipendente e può essere trascinata liberamente, mentre l’altra rappresenta la variabile dipendente e si muove sulla retta in base ai movimenti della prima. È possibile sdoppiare la retta orizzontale per rappresentare separatamente le due variabili su due rette parallele che rappresentano entrambe l’insieme dei numeri reali, poiché stiamo parlando di funzioni reali di una variabile reale.
Inoltre, è possibile ruotare l’asse contenente la variabile indipendente, in modo da ottenere una rappresentazione del piano cartesiano con due tacche mobili vincolate a muoversi sugli assi (Figura 3a). Infine, costruendo il punto (x, f(x)) e attivando la traccia su di esso, quando si muove la tacchetta che rappresenta la variabile indipendente, è possibile visualizzare la traiettoria di (x, f(x)) nel piano (Figura 3b) e ottenere così il grafico cartesiano della funzione.
Durante le numerose sperimentazioni che abbiamo condotto con studenti di scuole secondarie di secondo grado, abbiamo osservato che le loro descrizioni dei grafici dinamici sono ricche di riferimenti al movimento, al tempo e allo spazio, e una forte presenza di senso (che invece spesso manca nella spiegazione ed esecuzione di procedure apprese a scuola). Pensiamo che ciò possa essere stato favorito dall’ambiente interattivo dinamico e dal tipo di attività assegnate, caratterizzate da consegne aperte (cioè non c’è un’unica risposta corretta) e che richiedono un’esplorazione attiva delle rappresentazioni fornite.
Tuttavia, tale ricchezza potrebbe anche derivare dal fatto che gli studenti non avevano ancora incontrato formalmente il concetto di funzione nella loro esperienza scolastica, e quindi non avevano sviluppato un vocabolario matematico specifico, rendendo necessario l’uso di questi termini. Dalle analisi condotte sui dati emerge che introdurre al significato di funzione attraverso i grafici dinamici promuove una visione (co-variazionale) delle funzioni come relazioni tra movimenti di grandezze che variano su un intervallo di numeri reali (i primi risultati sono pubblicati sul sito del progetto). Questi risultati sono molto positivi rispetto all’obiettivo di promuovere la costruzione di un senso delle attività matematiche, che porta, tra l’altro, a prevenire le difficoltà più comuni riportate in letteratura.
Conclusioni
Con questo breve contributo, ci auguriamo di aver convinto le lettrici e i lettori che l’inclusione in matematica non è questione di semplificazione dei contenuti, ma di fornire strumenti adeguati affinché ogni studente possa costruire il proprio sapere in modo attivo e significativo. Per questo, l’insegnante ha bisogno di un repertorio ricco e flessibile di strumenti: artefatti digitali, strategie didattiche diversificate, modalità di osservazione sensibili ai bisogni specifici della classe e dei singoli studenti. Sottolineiamo anche come per la costruzione di tali strumenti e di percorsi efficaci è fondamentale un dialogo tra università e scuola, e quindi tra ricerca e pratica didattica.
Oltre agli esempi presentati, progetti come DynaMat hanno sviluppato svariate risorse preziose (per esempio, Lisarelli et al., 2022; Baccaglini-Frank e Bartolini Bussi, 2016); ma vogliamo mettere in guardia coloro che le vorranno utilizzare sul fatto che non si tratta di soluzioni preconfezionate. Infatti, quando si parla di recupero delle difficoltà o di introduzione a un nuovo Sapere matematico, non potranno mai esistere formule universali. Ogni attività va modellata sulla realtà della propria classe e adattata alle esigenze delle studentesse e degli studenti, che possono variare anche all’interno di uno stesso gruppo. L’insegnante, con il suo sguardo attento e la sua competenza come mediatore, resta la figura chiave per rendere la pratica in aula un’opportunità di crescita e di comprensione autentica della matematica.
Ringraziamenti
Il progetto PRIN DynaMat (2020BKWEXR) è stato finanziato dal Ministero dell’Università e della Ricerca. La sperimentazione delle attività progettate è stata condotta a CARME (www.carme.center), Fondazione Uniser Pistoia ETS.
Bibliografia e sitografia essenziale
A. Baccaglini-Frank, P. Di Martino, Cultural differences and sensitivities in the mathematics classroom, in D. Lucangeli (Ed.), Understanding Atypical Development: Dyscalculia, Routledge 2021, pp. 120-149, ISBN: 978-1-138-38987-8.
A. Baccaglini-Frank, G. Carotenuto, S. Funghi, G. Lisarelli, E. Miragliotta, (2024). Digital artifacts in Mathematics Education: How can we study the learning processes they promote? In « Bollettino dell’Unione Matematica Italiana» 2024, https://doi.org/10.1007/s40574-024-00439-2.
A. Baccaglini-Frank, G. Lisarelli, S. Antonini, Exploiting the potential of dynamic asymmetry in dragging to foster students’ understanding of functions and their Cartesian graphs, in B. Pepin, G. Gueudet, J. Choppin, Handbook of Digital Resources in Mathematics Education, Springer International Handbooks of Education, Springer, Cham 2024, pp. 381-408, https://doi.org/10.1007/978-3-030-95060-6_14-1.
A. Baccaglini-Frank, M. Bartolini Bussi, Buone pratiche didattiche per prevenire falsi positivi nelle diagnosi di discalculia: Il progetto PerContare, in «Form@re», 15(3), 2016, pp. 170-184. https://oaj.fupress.net/index.php/formare/article/view/3567 DOI: http://dx.doi.org/10.13128/formare-17182.
M.G. Bartolini Bussi, M.A. Mariotti, Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij, in «L’insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate», 32, 2009, pp. 269-294.
C. Bonadiman, E. Macchioni, Aperture a cambiamenti nel discorso: il caso di Dario, in «Didattica Della Matematica: Dalla Ricerca Alle Pratiche d’aula», 15, 2024, pp. 9-31, https://doi.org/10.33683/ddm.24.15.1.
G. Colacicco, G. Lisarelli, S. Antonini, Funzioni e grafici in ambienti digitali dinamici, in «Didattica della Matematica: dalla ricerca alle pratiche d’aula», 2, 2017, pp. 7-25, https://doi.org/10.33683/ddm.17.2.1
B. Davis, M. Renert, The math teachers know: Profound understanding of emergent mathematics. Routledge 2013.
B. Jonsson, M. Norqvist, Y. Liljekvist, J. Lithner, Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning, in «The Journal of Mathematical Behavior», 36, 2014, pp. 20-32, https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2014.08.003
G. Lisarelli, A. Baccaglini-Frank, F. Poli, Didattica della matematica inclusiva. Un percorso di ricerca-azione per la scuola secondaria di primo grado, jn «Ricercazione» 14(1), 2022, pp. 225-228.
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Center for Advanced Research on Mathematics Education
Progetto DynaMat e pubblicazioni relative ai suoi risultati
https://www.carme.center/progetto-dynamat/
Risorse del progetto PRIN DynaMat
https://www.carme.center/risorse-dynamat/
Materiali didattici del progetto “Didattica della Matematica Inclusiva”
https://risorse.iprase.tn.it/didattica-della-matematica-inclusiva
Materiali didattici del progetto PerContare
Note
- Il Center for Advanced Research on Mathematics Education (CARME) nasce nel 2021, presso UNISER Pistoia ETS, con la finalità di promuovere nell’ambito dell’educazione matematica la ricerca e la sperimentazione didattica, attraverso la collaborazione tra ricercatori dell’università e insegnanti di matematica dei diversi livelli scolari. Il centro è un polo di formazione insegnanti e di interazione con il mondo della scuola, dotato di strutture e ambienti all’avanguardia appositamente creati per la ricerca educativa, la formazione insegnanti e attività laboratoriali con studenti.
